解析学には、微分方程式論、積分論、関数空間論、複素関数論、超関数論、特殊関数論、作用素環論、調和解析学、実関数論などが含まれる。
数列 \(\{x_{1},x_{2},...,x_{n},...\} \)において、ある数 \(\alpha\) が存在し、以下の性質を満たすとき、整列 \(\{x_{n}\}(n=1,2,...)\) は \(\alpha\) に収束するという。 \[n > N \Rightarrow |x_{n} - \alpha| < \epsilon \] 数列 \(\{x_{n}\}(n=1,2,...)\) は \(\alpha\) に収束するとき、 \[\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = \alpha\] と表し、数列 \(\{x_{n}\}\) の極限値は \(\alpha\) であるという。
\( y = f(x) \)が\( x = x_{0} \)において微分可能であるとは、 \[\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} = \alpha \] が存在すること。
この極限値\( \alpha \)は微分係数\( f'(x_{0}) \)という。
\[(xy)' = x'y + xy' \]
\( v \ne 0 \) のとき、 \[(\frac{1}{y})' = - \frac{y'}{y^{2}}\] \[(\frac{x}{y})' = - \frac{x'y - xy'}{y^{2}}\]
t の関数 \( y = f(t) \)に\( t = g(x) \)を代入した合成関数 \(y = f(g(x))\) について、 \[\frac{d}{dx}\{f(g(x))\} = f'(g(x)) \cdot g'(x)\] \[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx}\]
