ヘルメルト(Helmert, F. R. (1875): Ueber die Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl wahrer Beobachtungsfehler, Zeitschrift f?r Mathematik und Physik, 20, 300-303)により発見され、ピアソン( Pearson, K. (1900): On the Criterion that a Given System of Deviations from the Probable in the Case of a Correlated System of Variables is such that it Can Reasonably Be Supposed to have Arisen from Random Sampling, Philosophical Magazine 5, 50, 157-175)により命名された確率分布．

$X_{i}$を、平均$\mu_{i}$で分散$\sigma_{i}^{2}$の正規分布に従う、k 個の独立な変数とすると、統計量\[Z = \sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2\]はカイ二乗分布に従う．\[Z\sim\chi^2_k\]カイ二乗分布の確率密度関数は\[x \ge 0\]に対して\[f(x;k)=\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\]となる．

ここで、$\Gamma$はガンマ関数である．