$\mathcal{B}_{1}=\{\phi,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}$

$\mathcal{B}_{2}=\{\phi,\{2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}$

という$\sigma$-集合体を考えることが出来る．

ところで、$\mathcal{B}_{1} \cup \mathcal{B}_{2}$は$\sigma$-集合体とはならない.

何故なら、

$\{1\} \in \mathcal{B}_{1} \cup \mathcal{B}_{2}$

$\{2\} \in \mathcal{B}_{1} \cup \mathcal{B}_{2}$

$\{1,2\} \not\in \mathcal{B}_{1} \cup \mathcal{B}_{2}$

となって$\sigma$-集合体の定義を満たさないからである．