$G$は空でない集合とする．$G$に2項演算が与えられていて，次の条件を満たすとき，$G$はこの演算に関して群$(group)$であるという.

$(G1)$ 結合法則
$\forall a ,b, c \in G, (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$

$(G2)$ 単位元の存在
$\exists e \in G, \forall a \in G, a \circ e = e \circ a = a$

$(G3)$ 逆元の存在
$\forall a \in G, \exists b \in G, a \circ b = b \circ a = e$