$R$を空ではない集合とする．$R$に2つの2項演算,和$(addition)$「＋」と積$(multiplication)$「・」が与えられた場合,以下の条件を満たすならば$R$を環$(ring)$という．

$(R1)$ 和について可換群である．

$(R2)$ 積について結合法則を満たす．

$(R3)$ 分配法則を満たす．

つまり、2項演算が1つ与えられた代数系が群であり,2項演算を2つ与えられた代数系が環である．