空ではない集合$\mathcal{A}$が以下の条件を満たすとき、複素数体$\mathbb{C}$上の多元環という.

• $\mathcal{A}$には加法と呼ばれる写像$\mathcal{A} \times \mathcal{A} \ni (a,b) \mapsto a + b \in \mathcal{A}$とスカラー乗法と呼ばれる写像$\mathbb{C} \times \mathcal{A} \ni (\lambda ,a) \mapsto \lambda a \in \mathcal{A}$が定義されていて、$\mathcal{A}$は$\mathbb{C}$上の線形空間であること．
• 積と呼ばれる写像$\mathcal{A} \times \mathcal{A} \ni (a,b) \mapsto ab \in \mathcal{A}$が定義されていて結合法則を満たす．
• 積は各変数に関して線形であること．すなわち、分配法則を満たす．$a b \in \mathcal{A},\lambda \in \mathbb{C}$に対して、$a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc,\lambda(ab)=(\lambda a)b=a(\lambda b)$
• 積の単位元$1=1_{\mathcal{A}}$が存在すること．

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参考：環$(ring)$、体$(field)$、複素数体