集合 $A$ に二項演算（*）が定義されていて、$a,b,c$を$A$の任意の元であるとき、

• 結合法則: $a*(b*c)=(a*b)*c$
• 単位元の存在:$\exists 1;a*1=1*a=a$
• 逆元の存在: $\forall a,\exists a^{-1};a*a^{-1}=a^{-1}*a=1$
• 交換法則:a*b=b*a

を全て満たすとき、$(G,*)$をアーベル群（abelian group）という．

Niels Henrik Abel、1802年8月5日 - 1829年4月6日