\[\begin{eqnarray}(e^{x})'&=&lim_{\Delta \to 0}\frac{e^{x+\Delta x}-e^{x}}{\Delta x}\\&=&lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{x}(e^{\Delta x}-1)}{\Delta x}\\&=&e^{x}lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}\\&=&e^{x}\end{eqnarray}\]ここで、\[lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1\]という結果を利用している．

$e^{x}$は微分しても変わらない唯一の関数である．このために、無理数$e$を指数関数の底として選ぶと具合が良い．