ベルヌーイ分布(二項分布)の期待値・分散 ベルヌーイ分布の期待値と分散をモーメント母関数と用いて求めてみる． ベルヌーイ分布は、 $$B(n,p)=P(x)= _{n}C_{x}p^{x}q^{n-x} , (x=0,1,\cdots,n,0<p<1,p+q=1)$$ (2.22) と表される．このベルヌーイ分布のモーメント母関数 $M(\theta)$ は以下のようになる． $$M(\theta) = E[e^{\theta x}]=\sum_{x=0}^{n}e^{\theta x} \cdot P(x)$$ (2.23) $$= \sum_{x=0}^{n}e^{\theta x} \cdot _{n}C_{x}p^{x}q^{n-x}$$ (2.24) $$= \sum_{x=0}^{n} {}_{n}C_{x} (pe^{\theta})^{x}q^{n-x}$$ (2.25) 定理 (二項定理 binomial theorem) $$(x+y)^{n} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k y^{n-k}$$ (2.26) この 二項定理 を用いて、先の結果を変形すると、 $$M(\theta) = \sum_{x=0}^{n} {}_{n}C_{x} (pe^{\theta})^{x}q^{n-x}$$ (2.27) $$= (pe^{\theta}+q)^{n}$$ (2.28) となる． この $M(\theta)$ を $\theta$ で微分すると、 $$M'(\theta) = n(pe^{\theta}+q)^{n-1}\cdot(pe^{\theta}+q)'$$ (2.29) $$= np \cdot e^{\theta}(pe^{\theta}+q)^{n-1}$$ (2.30) ここで、$\theta=0$ を代入すると、 $$M(0)' = np \cdot e^{\theta}(pe^{\theta}+q)^{n-1}$$ (2.31) $$= np \cdot e^{0}(pe^{0}+q)^{n-1}$$ (2.32) $$= np \cdot 1(p1+q)^{n-1}$$ (2.33) $$= np \cdot (p+q)^{n-1}$$ (2.34) $$= np \cdot 1^{n-1}$$ (2.35) $$= np$$ (2.36) となる．すなわち、ベルヌーイ分布 $B(n,p)$ の期待値は $np$ となる． さらに、$M(\theta)'$ を $\theta$ で微分する． $$M''(\theta) = np[(e^{\theta})' \cdot (pe^{\theta}+q)^{n-1}+e^{\theta}\{(pe^{\theta}+q)^{n-1}\}']$$ (2.37) $$= np\{e^{\theta}\cdot(pe^{\theta}+q)^{n-1}$$ (2.38) $$+e^{\theta}\cdot(n-1)\cdot(pe^{\theta}+q)^{n-2}\cdot(pe^{\theta}+q)'\}$$ (2.39) $$= npe^{\theta}\cdot\{(pe^{\theta}+q)^{n-1}+(n-1)pe^{\theta}(pe^{\theta}+q)^{n-2}\}$$ (2.40) 上式に、$\theta=0$ を代入すると、 $$M(0)''&= npe^{\theta}\cdot\{(pe^{\theta}+q)^{n-1}+(n-1)pe^{\theta}(pe^{\theta}+q)^{n-2}\}$$ (2.41) $$= npe^{0}\cdot\{(pe^{0}+q)^{n-1}+(n-1)pe^{0}(pe^{0}+q)^{n-2}\}$$ (2.42) $$= np\cdot 1 \cdot\{(p\cdot 1 +q)^{n-1}+(n-1)p\cdot 1 (p\cdot 1 +q)^{n-2}\}$$ (2.43) $$= np\cdot\{(p+q)^{n-1}+(n-1)p(p+q)^{n-2}\}$$ (2.44) $$= np\cdot\{(1)^{n-1}+(n-1)p(1)^{n-2}\}$$ (2.45) $$= np\cdot\{1+(n-1)p\}$$ (2.46) $$= np\{1+(n-1)p\}$$ (2.47) となることより、ベルヌーイ分布 $B(n,p)$ の分散は、 $$\sigma^{2} = M''(0)-M'(0)^{2}$$ (2.48) $$= np\{1+(n-1)p\} - (np)^{2}$$ (2.49) $$= np+np(n-1)p-np^{2}$$ (2.50) $$= np+npnp-npp-(np)^{2}$$ (2.51) $$= np+(np)^{2}-np^{2}-(np)^{2}$$ (2.52) $$= np-np^{2}$$ (2.53) $$= np(1-p)=npq$$ (2.54) となる．