選好と選択 定義 (二項関係 Binary Relation) 集合 A 上の二項関係を $R \subset A^{2}$ と表す．$(x,y) \in R$ のとき、$xRy$ とも表し、x と y は R で関係付けられていると言う． 定義 (混合集合 mixture set) ある集合 $M$ の任意の元 $x$ と $x'$ および任意の実数 $\mu \in [0,1]$ に対して、$M$ の１つの元( $\mu x + (1-\mu) x'$)が定まり、以下の３つの性質を満たすとき、ある集合 $M$ を混合集合(mixture set)という． 任意の実数 $\mu,\lambda \in [0,1]$ に対して、 $1x + 0x' = x$ $\mu x + (1-\mu) x' = (1-\mu) x'' + \mu x$ $\lambda[\mu x + (1-\mu) x'] + (1-\lambda) x' = \lambda\mu x + (1-\lambda\mu) x'$ 定義 (弱順序 weak order) 集合 $X$ 上の２項関係 $\succ$ が以下の性質を満たすとき弱順序(weak order)という． 非対称性：$x,x' \in X$ に対して、$x \succ x'$ ならば $x' \succ x$ ではない． 否定の推移性： $x,x',x'' \in X$ に対して、$x \succ x'$ ではなく、かつ、$x' \succ x''$ でないならば、$x \succ x''$ ではない． 関係式 $x \succ x'$ は $x$ は $x'$ よりも選好されると解釈される．そして、２項関係 $\succ$ を $X$ 上の選好順序(preference order)という． 定義 ($\sim$ と $\succeq$) $X$ 上の弱順序 $\succ$ に対して、$X$ 上の２項関係 $\sim$ と $\succeq$ は以下のように定義される． $x \sim x'$ とは、$x \succ x'$ ではなく、かつ、$x' \succ x$ ではないことである． $x \succeq x'$ とは、$x \succ x'$ あるいは $x \sim x'$ のことである．